第十章 函数项级数
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点态收敛下逐项求极限;逐项积分;逐项求导不一定成立.
1. 一致收敛
故引入一致收敛 :: \(\forall \varepsilon >0, x\in D, \exists N(\varepsilon) \in \mathbf{N}^+, \forall n > N(\varepsilon) \), 满足: \( \left| S_n(x)- S(x) \right| < \varepsilon\) 成立.
内闭一致收敛 :: \( \forall [a, b] \subset D, \{S_n(x)\}\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(S(x)\).
显然一致收敛 => 内闭一致收敛. not the other way.
一致收敛与部分和函数与函数项级数的距离的关系: 设 \( \{S_n(x)\} \) 在 \(D\) 上点态收敛. \(\{S_n(x)\}\) 一致收敛于 \(S(x)\) <=> \( \lim_{n \to \infty}{d(S_n,S)} = 0 \), 其中 \(d(S_n,S)= \sup_{x\in D} \left| S_n(x)-S(x) \right| \).
一致收敛的另一充要条件: 设 \(\{ S_n (x) \}\) 在 \(D\) 上点态收敛. \(\{S_n(x)\}\) 一致收敛于 \(S(x)\) <=> \(\forall \{x_n\} \in D, \lim_{n \to \infty}( S_n(x_n) - S(x_n) )=0 \). 此处不要求 \(\{x_n\}\) 收敛.
2. 函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理
\(S_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛等价于: \(\forall \varepsilon >0, x\in D, \exists, N(\varepsilon)\in \mathbf{N}^+, \forall m>n>N, \) \[ \left| \sum_{k=n+1}^\infty {u_k(x)} \right| < \varepsilon\] 成立.
3. Weierstrass 判别法
比较判别法的延伸. 设函数项级数的通项 \( u_n{x} \) 满足 \(|u_n(x)|\leq a_n, x\in D\), 有: \[ \sum_{n=1}^\infty a_n \text{ converges } \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n(x) \text{ uniformly converges in } D. \] 且绝对一致收敛.
4. Abel 和 Dirchlet 判别法
设函数项级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x) \), 满足以下两个条件之一则在 \(D\) 上一致收敛.
- Abel: \(\forall x \in D\), \(\{a_n(x)\}\) 单调且 \( \{a_n (x) \}\) 在 \(D \) 上一致有界 ( \(\forall x\in D\) 有 \(|a_n(x)|\leq M \) ); \( \sum_{n=1}^\infty b_n(x) \) 在 \(D\) 上一致收敛.
- Dirchlet: \(\forall x \in D\), \(\{a_n(x)\}\) 单调且 \( \lim_{n \to \infty} a_n =0 \); \( \sum_{k=1}^n b_k(x) \) 在 \(D\) 一致有界.
5. 一致收敛级数的性质
- 和函数的连续性,可导性,可积性.
连续性定理: \(\forall n \in \mathbf{N}^+, \{S_n(x)\}\) 在 \([a, b]\) 上连续且一致收敛于 \(S(x)\) => \(S(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续.
即: \(\lim_{x \to x_0} \lim_{n \to \infty} S_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to x_0} S_n(x) \).
- 逐项积分定理: \(\forall n \in \mathbf{N}^+\), \( u_n (x)\) 在 \( [a, b]\) 一致收敛于 \(S(x) \), 则 \(S(x)\) 在 \([a, b]\) 可积, 有: \[ \int_a^b {S(x) \mathrm{d}x} = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b {u_n(x) \mathrm{d}x }. \]
- 逐项求导定理: \(u_n(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续可导, 且 \( \sum_{n=1}^\infty u_n(x) \) 点态收敛于 S(x), \( \sum_{n=1}^\infty u'_n(x) \) 一致收敛于 \(\sigma(x)\), 则有: \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} u_n(x). \]
NOTE :三个定理中的条件都是充分不必要,逆命题不成立.
5.1. 三定理的拓展:条件可放宽为内闭一致收敛.
Dini 定理: 设 \(\{ S_{n}(x)\}\) 在 \([a, b]\) 上点态收敛于 \(S(x)\), 若
- \( S_n(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续;
- \( S(x) \) 在 \( [a,b] \) 上连续;
- \(\forall x \in D\), \( \{ S_n(x)\}\) 关于 n 单调.
1 + 2 + 3 => \(\{S_n(x)\}\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(S(x)\).
NOTE: 存在处处不可导的连续函数.
6. 幂级数
\[ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-{x_0})^n. \]
定义 \( R= \frac{1}{A}= \)
- \( \dfrac{1}{\bar{ \lim_{n \to \infty} }\sqrt[n]{|a_n|} } \), Cauchy 判别
- \( \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| \), d'Alembert 判别
Cauchy-Hadamart 定理: 幂级数 \( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) 当 \( |x| < R \) 时绝对收敛; 当 \( |x| > R \) 时发散. NOTE: 在 \(x = \pm R\) 的端点处, 收敛情况需要自行判断.
6.1. 幂级数的性质
6.1.1. Abel 第二定理:
- \( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) 在 \((-R, R)\) 上内闭一致收敛.
- \( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) 在 \(x=R\) 处收敛 => 在 \((-R, R]\) 上内闭一致收敛.
6.1.2. Abel 第二定理推论:
- 和函数连续性:幂级数在其收敛域上连续.
- 逐项可积性:幂级数在收敛域的任意子闭区间上可逐项求积分.
- 逐项可导性:幂级数在其收敛域内部可以逐项求导.
特别地,有: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x, (x\in R); \] \[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, (x \in (-1, 1)). \]
7. Taylor 级数
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0) }{ n! } (x-x_0)^n \]
Taylor 级数收敛的充要条件: 余项满足 \( \lim_{n \to \infty} r_n(x) = 0 \).
- 余项的积分形式 \[ r_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n \mathrm{d} t. \]
- Cacuhy 余项 \[ r_n(x) = \frac{( 1-\theta )^n}{n!} f^{(n+1)}(x-x_0)^{n+1}[ x_0 + \theta (x-x_0)], 0\leq\theta\leq 1 .\]